Définition :
Soit \(E\) un espace vectoriel sur le corps \({\Bbb K}\)
On dit que \(f\) est une forme linéaire de \(E\) si \(f\) est une application linéaire de \(E\) dans \(\Bbb K\)
(Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité)
Les formes linéaires de \(M_n({\Bbb K})\) sont toutes de la forme $$\delta_A:\begin{align} M_n({\Bbb K})&\longrightarrow{\Bbb K}\\ M&\longmapsto\operatorname{trace}(AM)=\langle A.^\text tM\rangle\end{align}$$
(Matrice)
- Produit scalaire sur \({\Bbb R}^n\) si on fixe l'un des deux vecteurs $$\langle x,y\rangle=\sum^n_{i=1}x_iy_i\quad\text{ pour }\quad y\text{ fixé}$$
- Si \(M_n({\Bbb K})=\{1=(a_{ij})\mid1\leqslant i,j\leqslant n, a_{ij}\in{\Bbb K}\}\), la trace \(\operatorname{tr}(A)=\sum^n_{i=1}a_{ii}\)
- Le déterminant n'est pas une forme linéaire pour \(n\gt 1\) car \(\operatorname{det}(\lambda A)=\lambda^{n^2}\operatorname{det}(A)\)
(Produit scalaire, Trace, Déterminant)
